-
משפט קניג (תורת הקבוצות)
כל מה שרצית לדעת על משפט קניג (תורת הקבוצות):משפט קניג (נקרא גם אי-שוויון קניג) הוא משפט מתמטי בתורת הקבוצות. משפט קניג מניח את אקסיומת הבחירה, ולמעשה שקול לה. המשפט הוכח על ידי המתמטיקאי ההונגרי גיולה קניג (Gyula Kőnig) המשפט מהווה הכללה של משפט קנטור. נוסח המשפט: לכל קבוצה , אם לכל נתונות זוג עוצמות ו-,…
-
תורת הקבוצות האקסיומטית
כל מה שרצית לדעת על תורת הקבוצות האקסיומטית:תורת הקבוצות האקסיומטית היא תורה מתמטית המהווה ניסוח אקסיומטי של תורת הקבוצות. אף על פי ששימוש בתורת הקבוצות הנאיבית עדיין רווח במתמטיקה, תורת הקבוצות האקסיומטית היא למעשה התורה שאליה מתכוונים מתמטיקאים בהתייחסם לתורת הקבוצות. ביחד עם לוגיקה וענפים אחרים במתמטיקה, תורת הקבוצות האקסיומטית מהווה חלק עיקרי ביסודות המתמטיקה.…
-
משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין
כל מה שרצית לדעת על משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין:משפט קנטור-שרדר-ברנשטיין בתורת הקבוצות אומר כי אם קיימת פונקציה חד-חד-ערכית מקבוצה A לקבוצה B, וקיימת פונקציה חד-חד-ערכית מהקבוצה B לקבוצה A, אז קיימת פונקציה חד-חד-ערכית ועל מהקבוצה A לקבוצה B, כלומר שתי הקבוצות שקולות – עוצמתן זהה.ניתן לנסח את המשפט בכתיב עוצמות כך: אם | A | ≤ |…
-
למת פודור
כל מה שרצית לדעת על למת פודור:בתורת הקבוצות, למת פודור היא טענה האומרת כי לכל מונה סדיר שאינו בן-מנייה, קבוצת שבת S ופונקציה דוחסת על S, קיימת תת-קבוצה של S כך שהפונקציה מצומצמת לתת-הקבוצה היא קבועה.הלמה הוכחה בצורתה המודרנית על ידי ג'זה פודור בשנת 1956. גרסה חלשה יותר של הלמה הוכחה בשנת 1929 על ידי…
-
עץ אהרונשיין
כל מה שרצית לדעת על עץ אהרונשיין:בתורת הקבוצות, עץ אהרנשיין הוא עץ שכל שלביו וכל ענפיו בני מניה לכל היותר, ועם זאת הוא אינו בן מניה בעצמו. קיומו של עץ כזה מפריך את הכללת הלמה של קניג עבור עצמות הגבוהות מ־ ℵ 0 {\displaystyle \aleph _{0}} .כל עץ סוסלין הוא עץ אהרונשיין. באופן כללי, לכל…
-
משפט טרסקי
כל מה שרצית לדעת על משפט טרסקי:בתורת הקבוצות האקסיומטית, משפט טַרְסְקִי, אותו הוכיח אלפרד טרסקי, מציג טענה השקולה לאקסיומת הבחירה: טרסקי הוכיח שאם מניחים רק את מערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל, אז אקסיומת הבחירה נובעת מן הטענה "לכל קבוצה אינסופית A {\displaystyle A} , עוצמתה של המכפלה הקרטזית A × A {\displaystyle \ A\times A}…
-
עקרון המקסימום של האוסדורף
כל מה שרצית לדעת על עקרון המקסימום של האוסדורף:במתמטיקה, עקרון המקסימום של האוסדורף הוא ניסוח אלטרנטיבי ומוקדם יותר ללמה של צורן, אשר הוכח על ידי פליקס האוסדורף בשנת 1914. על-פי עקרון זה, בכל קבוצה סדורה חלקית, כל שרשרת מוכלת בשרשרת מקסימלית.עקרון המקסימום של האוסדורף הוא אחת מתוך טענות רבות השקולות לאקסיומת הבחירה במסגרת מערכת האקסיומות…
-
משפט קנטור-בנדיקסון
כל מה שרצית לדעת על משפט קנטור-בנדיקסון:משפט קנטור-בנדיקסון הוא משפט מתמטי הקובע שכל קבוצה סגורה בישר הממשי היא איחוד זר של קבוצה מושלמת וקבוצה בת-מנייה.המשפט התקבל במסגרת ניסיונותיו של גאורג קנטור להוכיח את השערת הרצף. מהמשפט נובע שכל קבוצה סגורה של ממשיים היא בת-מנייה או מעוצמת הרצף. נלקח מויקיפדיה הגדרות נוספות הקשורות למשפט קנטור-בנדיקסון:•משפטים בטופולוגיה•משפטים…
-
משפט הסדר הטוב
כל מה שרצית לדעת על משפט הסדר הטוב:משפט הסדר הטוב הוא משפט בתורת הקבוצות, הקובע שאפשר לסדר כל קבוצה בסדר טוב. משפט זה אינו נובע ממערכת האקסיומות של צרמלו-פרנקל, אלא הוא שקול לאקסיומת הבחירה, וכן גם ללמה של צורן. את המשפט הוכיח ארנסט צרמלו, בהסתמך על אקסיומת הבחירה, ולכן הוא קרוי גם משפט צרמלו. חשיבותו…
-
הוכחת האי-מנייה הראשונה של קנטור
כל מה שרצית לדעת על הוכחת האי-מנייה הראשונה של קנטור:הוכחת האי-מנייה הראשונה היא הוכחתו של גאורג קנטור משנת 1874 כי כמעט כל המספרים הממשיים הם מספרים טרנסצנדנטיים. הכלים ששימשו את קנטור לשם ההוכחה שימשו אותו מאוחר יותר לביסוס תורת הקבוצות אותה הגה. להוכחה של קנטור חשיבות רבה במסגרת ההיסטוריה של תורה זו, שכן היא ההוכחה…